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Geometrie-Aufgaben:
Vektorgeometrie - Anwendungen des Normalenvektors

Diese Musterlösung wird als nb-file zur Verfügung gestellt, um es mit Mathematica weiter bearbeiten zu können, mit folgenden Zielen:
* Optimierung für den persönlichen Gebrauch durch den Einsatz von (* Kommentaren *) ,
* Einsatz von Seitenumbrüchen für eine sinnvollere Gestaltung einer Druckversion,
* Ergänzen mit einer Zusammenstellung der numerischen Resultate, die durch z.B. Lösung_a) abgerufen werden können.

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Aufgabe 1
Wir gehen dabei von folgenden Punkten aus:   
A = (1/2/3) ,  B = (0/2/1) ,  C = (-1/0/1) ,  D = (2/-1/3) ,  F = (3/2/-1) ,  G = (3/2/z)

A={1,2,3};B={0,2,1};CC={-1,0,1}  (* steht für den Punkt C, da C ein protected symbol ist *);
DD={2,-1,3};F={3,2,-1};G={3,2,z};

Aufgabe a)

EbeneE[r_,s_]:=A+r*(B-A)+s*(CC-A)
LösungA1=MatrixForm[EbeneE[r,s]]

zur Herleitung einer zugehörigen Koordinatengleichung:

M={x,y,z}

Solve[EbeneE[r,s]==M]

Eliminate[EbeneE[r,s]==M,{r,s}]

LösungA2=AddSides[%,-2x]

nE=Cross[B-A,CC-A]

-4x+2y+2z-d==0/.{x->1,y->2,z->3}

Aufgabe b)

EbeneB[r_,s_]:=DD+r*(B-A)+s*(CC-A)
MatrixForm[EbeneB[r,s]]

Solve[-4x+2y+2z-d==0/.{x->2,y->-1,z->3},d]

-4x+2y+2z-d==0/.%

Solve[EbeneB[r,s]=={2,-1,3}]

(* Zwei Parameter gefunden, welche die Gleichung erfüllt ⇒ D ∈ EbeneB *)

-4x+2y+2z-(-4)==0/.{x->2,y->-1,z->3}

Solve[EbeneB[r,s]=={3,2,-1}]

-4x+2y+2z-(-4)==0/.{x->3,y->2,z->-1}

Aufgabe c)

(*  Selber lösen & verifizieren *)

Aufgabe d)

MatrixForm[CC-B]

Solve[-x-2y+0z-d==0/.{x->3,y->2,z->z},d]

-x-2y+0z-d==0/.{d->-7}

Aufgabe e)

k[t_]:=DD+t*(F-DD)
MatrixForm[k[t]]

1. Weg:

Solve[k[t]==EbeneE[r,s]]

k[t]/.t->-(5/3)

EbeneE[r,s]/.{r->-(22/3),s->4}

2. Weg:

Solve[-3+y+z==2 x/.{x->2+t, y->-1+3 t,z->3-4 t}]

k[t]/.%

Aufgabe f)

(* Lösungsansatz: d(E,D) = d(P,D), mit P = SP(n zu E durch D, E) *)

n[t_]:= DD+t*{-4,2,2}
MatrixForm[n[t]]

Solve[EbeneE[r,s]==n[t]]

P=P1=n[(5/12)]

(* Kontrolle ...  *)
P2=EbeneE[r,s]/.{r->-(3/2),s->(13/12)}

Norm[P-DD]

Aufgabe g)

(* Wähle Q ∈ E beliebig *)

Q= A

nE

R1=A+2*1/Norm[nE]*nE

R2=A-2*1/Norm[nE]*nE

Loesg1[r_,s_]:=R1+r*(B-A)+s*(CC-A)
Loesg2[r_,s_]:=R2+r*(B-A)+s*(CC-A)
MatrixForm[Loesg1[r,s]]
MatrixForm[Loesg2[r,s]]

Solve[-4x+2y+2z-d==0/.{x->1-2 (Sqrt[(2/3)]),y->2+(Sqrt[(2/3)]),z->3+(Sqrt[(2/3)])},d]

-4x+2y+2z-d==0/.%

Solve[-4x+2y+2z-d==0/.{x->1+2 (Sqrt[(2/3)]),y->2-(Sqrt[(2/3)]),z->3-(Sqrt[(2/3)])},d]

-4x+2y+2z-d==0/.%

Aufgabe h)

n[t_]:= G+t*{-4,2,2}
MatrixForm[n[t]]

Solve[EbeneE[r,s]==n[t]]

Norm[G-(n[t]/.t->(1/3)+(r/6))]

Solve[2 (Sqrt[6]) Abs[(1/3)+(r/6)]==1]

Zusammenstellung der Lösungen

LösungA1
LösungA2