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Geometrie-Aufgaben:
Vektorgeometrie - Repetitionsserie Teil 1

Bei den folgenden Aufgaben sind zum Teil verschiedene Lösungswege dargestellt und auch Wege zur Löungsfindung stehen gelassen worden, welche nicht direkt zur Lösung geführt haben , aber zu einem kurzes Nachdenken anregen sollen.

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Aufgabe 6
Wir gehen dabei von folgenden Punkten aus:   A=(2/1/-3) ,  B=(-3/0/1)  und  C = (7/-1/-1)

A={2,1,-3}; B={-3,0,1}; F={7,-1,-1};
(* Beachte, dass C,D und E im Mathematica protected symbols sind *)

MatrixForm[A]
MatrixForm[B]
MatrixForm[F]

Aufgabe a)

MatrixForm[B-A]

Aufgabe b)

MatrixForm[B+0.5*(F-B)]

(* Beachte die Schreibweise für die skalare Multiplikation: * oder aus MathAssistant × *)

MatrixForm[B+0.5×(F-B)]

Aufgabe c)
für α :

ArcCos[(B-A).(F-A)/(Norm[B-A]*Norm[F-A])]

%//N

%*180/π

113.76031590797703`

für β :

Solve[(A-B).(F-B)==Norm[A-B]*Norm[F-B]*Cos[x],x]

NSolve[(A-B).(F-B)==Norm[A-B]*Norm[F-B]*Cos[x],x]

(* Überlege dir, warum der obige (N)Solver unendlich viele Lösungen angibt und du nur eine davon brauchen kannst *)

0.5387854201856095` *180/π

für γ :

ArcCos[(A-F).(B-F)/(Norm[A-F]*Norm[B-F])]//N

%*180/π

Aufgabe d)

Norm[A-B]+Norm[B-F]+Norm[F-A]

%//N

MatrixForm[B+0.5*(F-B)

Aufgabe e)

(*  Verwende eigene Lösungswege ...  das Resultat ist: 17.037 *)

Aufgabe f*)

M={x,y,z};

Solve[Norm[A-M]==Norm[B-M]]

Solve[Norm[A-M]==Norm[F-M]]

Solve[Norm[F-M]==Norm[B-M]]

Solve[Norm[A-M]==Norm[B-M]&&Norm[A-M]==Norm[F-M]&&Norm[F-M]==Norm[B-M]]

Expand[Norm[A-M]==Norm[B-M]]

Simplify[Norm[A-M]==Norm[B-M]]

(A-M).(A-M)

Expand[(A-M).(A-M)]

Expand[(A-M).(A-M)-(B-M).(B-M)]

Expand[(A-M).(A-M)-(F-M).(F-M)]

Expand[(F-M).(F-M)-(B-M).(B-M)]

G={{-10,-2,8},{10,-4,4},{-20,2,4}};
b={4,-37,41};

MatrixForm[G]
MatrixForm[b]

Solve[G.M==b]

LinearSolve[G,b]

(* Vergleiche hierzu das Dokument zu
Bemerkungen zum Befehl LinearSolve... *)

augmG={{-10,-2,8,4},{10,-4,4,-37},{-20,2,4,41}};
MatrixForm[augmG]

RowReduce[augmG]

%//MatrixForm

g[t_]:={{1.5+0.4t},{-5.5+2t},{0+t}};
MatrixForm[g[t]]

H[r_,s_]:={{2-5r+5s},{1-r-2s},{-3+4r+2s}}
MatrixForm[H[r,s]]

Solve[g[t]==H[r,s],{t,r,s}]

g[t]/.t->1.9767441860465114`

{{2.2906976744186047`},{-1.5465116279069773`},{1.9767441860465114`}}//MatrixForm

H[r,s]/.{r->0.8100775193798448`,s->0.8682170542635659`}//MatrixForm

Der gesuchte Umkreismittelpunkt hat die Koordinaten  M = ( 2.291 / -1.547 / 1.977 )

Aufgabe g*)

{H[r,s]/.{r->0.8100775193798448`,s->0.8682170542635659`}}+{13/Norm[(g[t]/.t->1.9767441860465114`)]*(g[t]/.t->1.9767441860465114`)}

{H[r,s]/.{r->0.8100775193798448`,s->0.8682170542635659`}}-{13/Norm[(g[t]/.t->1.9767441860465114`)]*(g[t]/.t->1.9767441860465114`)}

Abstandskontrolle:

MP={2.2906976744186047`,-1.5465116279069773`,1.9767441860465114`};
P={11.054361882205583`,-7.4630971082910795`,9.5392970557104`};
Q={-6.472966533368372`,4.370073852477126`,-5.585808683617376`};

Norm[MP-P]

Norm[MP-Q]